이차방정식과 함수이야기(2)

이차함수와 이차방정식 제 2편입니다.

지난번 글을 잠깐 리뷰해보자면

그래프와 그래프가 만나는 점, 즉 교점에 집중하기로 했고

그 중 그래프와 x축이 만나는 점을
방정식의 ‘근’이라고 부른다고 했습니다!
(정의가 그렇죠 !)

오늘은 이차함수의 그래프와
식의 형태에 대해 관심을 이어가려해요~

위 그림처럼 이차함수는 최고차항 계수인 a의 부호에 따라서 위로 볼록한 형태와 아래로 볼록한 형태의 그래프로 나뉘게 됩니다.

지난번 꾸준히 등장했던 이차방정식의 일반적인 형태인
ax^2+bx+c 는 위의 그래프를 평행이동시킨 결과를 표현한 식이에요.

그럼 이제부터 계수 a가 양수일 때를 기준으로 이차함수의 일반형 식의 형태가 나온 과정을 살펴보겠습니다.

위의 빨간색 그래프를 x축 양의 방향으로 a만큼 밀어봤습니다.(평행이동)

왜 갑자기 밀어버리냐구요? 과정을 한번 지켜보세요~!!
(평행이동에 대한 얘기는 이후 따로 작성 할 예정입니다)

자자, 그렇다면
파란 이차함수의 그래프는 x=p라는 점에서
두 개의 근을 가지게 되고
y = a(x-p)^2 이라는 식으로 써질 수 있겠죠?

어디서 많이 본 형태네요?!

기존의 식(빨간색)에서 x축의 방향으로 평행이동시켜 탄생시킨 형태의 식(파란색)을 우리는 ‘완전제곱식’ 이라는 명칭으로 부릅니다.

즉, 이차함수에서 완전제곱식의 형태는
그 해의 형태가 ‘중근’일 때를 의미한다는 것이죠.

그래서 개념서에선 이차함수가 중근을 가질 조건은
판별식이 0이 될 때라고 설명합니다.

이후 파란 함수를 y축 양의 방향으로 밀어올립니다.
그렇다면 그래프 위에 있던 모든 y값(함숫값)은 모두 +q씩 증가하게되죠.

따라서 전체 식은 y= a(x-p)^2 + q가 되는겁니다.

그럼 이제 위 녹색 식을 전개시켜보겠습니다.

형태가 좀 비스므리한 식이 보이죠?
여기서 -2ap=b, ap^2+q=c로 각각 치환을 시켜주면
그 형태는 비로소 ax^2+bx+c의 형태가 됩니다.

식의 형태와 그래프의 관계에 대해 어느정도 그림이 잡히셨나요??

그렇다면 이제 원래의 기본 그래프로 돌아와서 이차함수 그래프의 특징에 대해서 좀 살펴볼텐데요

이차함수는 기본적으로 ‘선대칭’의 성질이 있어요.
어렸을 때 미술시간에 했던 데칼코마니를 기억하시나요? 마치 그것처럼, 축을 기준으로 그래프를 접으면 완벽하게 포개집니다!

그럼 그 축은 대체 무엇일까요??
바로 이차함수의 꼭짓점의 x좌표에 대한 직선입니다!

이차함수의 함숫값이 최대/최소를 가지는 지점을
바로 이차함수의 꼭짓점이라고 부릅니다.
이차함수를 대표하는 점이기도 하지요.

그래서 기본 이차함수의 그래프에서는
그 축이 y축이 됩니다. (x=0의 직선)

위에서 말씀드렸듯,
이차함수의 선대칭 성질에 의해
위 그림과 같은 현상이 발생합니다.

어떤 직선과 이차함수가 만나는 교점의 x좌표를
각각 x1, x2로 본다면
위 그림과 같이 x1과 x2의 절댓값이 같습니다.
x1과 x2의 중점이 꼭짓점의 x좌표값이 되버립니다!

그렇다면 그 ‘어떤 직선’이 x축이 된다면?
두 근의 중점이 곧 꼭짓점의 x좌표가 되는것이지요~

일반적인 형태로 나타내면
위의 그림처럼 표시할 수 있습니다.

여기서 근-계수관계에 의해서 두 근의 합인
α+β=-b/a를 위 중점에 대입해보면

라는 결과를 얻게됩니다.

이차함수에서 꼭짓점의 x좌표와 계수와의 관계로도 알려져있고 근의 공식을 증명하는 과정에서도 등장하는 관계입니다.

이차함수에 대해 어느정도 도움이 좀 되셨나요?
아직 많은 내용들이 남아있지만 이차함수에 대한 얘기는 추후 또 해보도록 하겠습니다.

고등교과 내용들을 전부, 상세히 다루려는 목적이 아닌 제가 생각했을 때 필요하다싶은 내용들을 써보려해요.

특정 단원에 대해 필요한 내용이 있으시면
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