안녕하세요! ryanhan입니다.
지난번 포스팅에서 9의 배수판정법을 알아보는 시간을 통해
배수판정법에서 ‘자릿수’에 집중하다는 것이 중요하다는 것을 알았습니다.
그렇다면 또 어떤 수들의 배수판정법들이 있을까요?
한 번 알아보도록 하겠습니다.

9의 배수판정법에 대한 고찰

저번 포스팅에서 알아본 9의 배수 판정법을 다시 정리해보면,
어떤 수를 자릿수에 집중해서 보면,
10000a+1000b+100c+10d+e 꼴로 쓸 수 있다고 하였습니다.
(1~99999까지의 수.)

이 수를 9로 묶어 보면
9(1111a+111b+11c+d)+(a+b+c+d+e)로 나타낼 수 있기 때문에
(a+b+c+d+e)가 9의 배수이면
10000a+1000b+100c+10d+e가 9의 배수라고 할 수 있습니다.

이렇게 될 수 있었던 이유를 생각해보자면,
9가 10에서 1을 뺀 수이기 때문일 것입니다.
9로 묶으면 자릿수가 하나씩 남게 되는 것이죠.

9와 11의 관계.

9가 10에서 1을 뺀 수여서 쉽게 배수판정법을 알 수 있었습니다.
그러면 혹시, 10에서 1을 더한 수인 11은 어떨까요?

수식을 이용해서 논해보겠습니다.
10000a+1000b+100c+10d+e를 11로 묶어볼까요?
11(909a+90b+9c)+(a+10b+c+10d+e)가 되는군요.
a+10b+c+10d+e라니…나쁘진 않지만 10b, 10d가 거슬립니다.
여기에서 한 걸음 나아가서 다음과 같은 생각을 해봅니다.
10b를 11로 묶으면, 11(b) – b 꼴로 표현할 수 있지 않을까요?

이를 이용해서 다시 묶어보면,
11(909a+91b+9c+d)+(a-b+c-d+e)로 묶을 수 있습니다!!
즉, a-b+c-d+e가 11의 배수이면,
원래 수인 10000a+1000b+100c+10d+e가 11의 배수입니다.

홀수번째 자리의 합과 짝수번째 자리의 합의 차를
이용하여 11의 배수인지 판단해볼 수 있겠습니다!

숫자 1001의 비밀

9의 배수와 11의 배수를 판단하는 과정에서,
10에서 1차이난다는 것이 중요한 역할을 한다는 것을 알았습니다.
그 다음으로 생각해볼 수는
99나 101의 배수 판단법일 것입니다.
이것도 마찬가지로 ‘묶는 방법’을 통해서 판단할 수 있겠죠.
하지만, 99의 배수는 9의 배수이자 11의 배수인 성질을 이용하는게 더 편하고
101은 소수인데, 이렇게 큰 소수의 배수는 판단할 일이 거의 없습니다.
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그런데, 그 다음으로 생각해볼 수인 1001은 한 가지 비밀을 가지고 있습니다.
1001은 소수일 것 같이 생겼는데요,

실제로 1001 = 7 x 11 x 13으로 소인수분해가 된다는 점입니다.

(5보다 큰 연속된 세 소수의 곱이군요!! 놀랍습니다.)
이 성질을 이용하면 7과 13의 배수판정법을 구할 수 있습니다.
7의 배수판정법에 대해서 논해보겠습니다.

100000a+10000b+1000c+100d+10e+f를
7로 묶는 대신 1001로 묶을 겁니다.
1001로 묶는 것은 7로 묶는 효과를 포함하고 있죠.
1001(100a+10b+c) + (-100a-10b-c+100d+10e+f)
그럼 위와 같이 묶이게 되는데요.
이것은 어떤 의미를 가지고 있을까요?

일단 그냥 보기에는
(100d+10e+f)-(100a+10b+c)가 11의 배수 인지 확인하면 됩니다.
그런데 (100d+10e+f) 와 (100a+10b+c)는
원래의 숫자를 세 자리씩 끊어서 보는 것 과 같습니다!!

예를 들어, 원래 숫자가 108,374였다면
(100a+10b+c)=108이고
(100d+10e+f)=374일 것입니다.
이제 이 둘의 차인 266이 7의 배수인지 확인해보면 되겠습니다.
실제로 266이 7의 배수이기 때문에 108374도 7의 배수입니다!

즉, 7의 배수 판정법은
뒤에서부터 숫자를 세 개씩 끊어서 교대로 빼고 더한 수가
7의 배수인지 확인하는 방법을 통해 판단할 수 있습니다.
비슷한 방법으로 13의 배수 판정법도 구할 수 있습니다!!
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오늘은 숫자1001속에 숨어있는 비밀과
그것을 이용한 7의 배수 판정법을 알아봤습니다.
설명을 못해서 글이 너무 길어졌네요…
나중 포스팅에서 더욱 쉬운 7의 배수 판정법인
**‘라이언스의 방법’**에 대해서도 다뤄보겠습니다.
읽어 주신 분들 정말 감사드립니다.
ryanhan이었습니다.