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[수리물리학 이야기] Chapter 14. 베셀 함수, 뉴만 함수, 한켈 함수

By @hunhani•12/12/2017•kr
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안녕하세요. 훈하니 @hunhani입니다.

@beoped 님과 @yurizard 님께 자극을 받고 저도 기초적인 수리물리 내용의 포스팅을 도전해보기로 마음먹었습니다. 두 분에 비하면 한참 못 미칠 내용 혹은 이미 중복된 내용을 다룰 수도 있겠지만 애교로 봐주시겠죠? 그동안의 다른 물리학 시리즈와 달리 어쩔 수 없이 수식을 포함해 설명할 수밖에 없고 그렇다고 모든 개념을 풀어 전해드리기에는 내용이 방대합니다. 때문에 수식이 왜 이렇게 표현되고 어떻게 도출되는지 수학적으로 파고드는 것은 일반인 입장에서 글 내용을 더 어렵게 느끼게 만들 것 같더군요. 따라서 해당 수식이 결과론적으로 어떤 의미를 지니는지 어떻게 사용되는지 등에 초점을 맞춰 작성하도록 하겠습니다.

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대문을 제작해주신 @leesol 님께 감사드립니다.
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대문을 제작해주신 @cheongpyeongyull 님께 감사드립니다.

베셀 함수

**베셀 함수(Bessel function)**는 **헬름홀츠 방정식**을 **원통좌표계**에서 변수분리할 때 등장하는 아래 베셀 미분 방정식의 해가 되는 함수입니다. 전자기학의 맥스웰 방정식 및 양자역학의 슈뢰딩거 방정식 및 등에서 원통대칭성을 가진 문제를 풀이할 때 널리 사용됩니다. 대표적으로 광섬유 내에서 빛의 전파, 도파관을 통해 전송되는 마이크로웨이브 전파, 양자의 산란 효과 등을 다룰 때 매우 중요하게 취급되고 있습니다.

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위 베셀 미분 방정식의 해인 베셀 함수를 Jn(x)로 표기하고 이를 제 1종 베셀 함수라고 합니다.

이 함수의 해를 구하는 방법도 앞의 특수 함수들과 마찬가지로 여러 가지가 있는데요.

첫째, 생성 함수를 이용하는 방법이 있습니다.

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둘째는 급수해법으로 구할 수 있습니다.

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위 식에는 **감마함수**도 포함되어 있죠.

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베셀 함수 Jn(x)는 다음과 같은 특성이 있는데요.

n이 정수가 아닐 때, Jn(x)와 J-n(x)는 다음과 같이 표현됩니다.

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즉, Jn(x)와 J-n(x)는 서로 독립적인 해가 아닙니다.

급수해법을 이용하여 베셀 미분 방정식의 해를 구하면, 결정 방정식은 다음과 같습니다.

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즉, 일반해가 다음 꼴이 되어야 합니다.

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그러나 Jn(x)와 J-n(x)는 서로 독립해가 아니므로 급수해법으로는 한계를 보이는 셈입니다.

뉴만 함수

그렇다면 n이 정수일 때 베셀 미분 방정식의 일반해가 어떻게 될까요? 다음과 같이 **뉴만 함수(Neuman function) Nn(x)**를 도입해야만 일반해를 얻을 수가 있다.

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이 뉴만 함수 Nn(x)를 제 2종 베셀 함수라고도 합니다.

결과를 요약하자면 다음과 같습니다.

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한켈 함수

내친김에, **한켈 함수(Hankel function) Hn(x)**까지 알아보겠습니다.

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베셀 함수 Jn(x) 및 뉴만 함수 Nn(x)로 구성되어 있으니 당연히 베셀 미분 방정식의 해가 됩니다.

이 한켈 함수 Hn(x)를 제 3종 베셀 함수라고도 합니다.

베셀 함수는 다음과 같이 적분 형태로도 표현할 수 있습니다.

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또한 x가 아주 큰 경우, 베셀 함수를 아래와 같이 근사식으로 표현할 수 있죠.

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다음 편을 기대해주세요!


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  • 본문에서 사용된 모든 이미지는 구글 이미지에서 가져왔음을 밝힙니다.
  • 본문을 작성하는데 있어 위키피디아 내용을 참조하였습니다.
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