경제학과 컴퓨터공학에는 두 개의 서로 다른 불가능성에 대한 정리(Theorem)가 있다.
정리란 수학적이나 논리적으로 증명된 사실을 말한다.
경제학에서 가장 유명한 불가능성의 정리는 애로우( K. Arrow)의 불가능성정리인데
"세개 이상 대안이 있는 경우 개인의 선호를 모두 설명할 수 있는 사회후생함수를 만드는 것은 불가능하다''라는 내용이다.
컴퓨터공학에서는 FLP 불가능성 정리가 있는데, 피셔, 린치, 패터슨이 1985년에
‘Impossibility of Distributed Consensus with One Faulty Process’라는 논문에서 비동기 분산네트워크에서 메세지가 손실되지 않고 지연될 경우, 만약 최소한 하나의 프로세스가 작동되지 않으면 (fail-stop), 모든 초기조건에 대해 모든 과정을 완료시키는 합의알고리즘은 존재하지 않는다'는 것이다.
경제학의 애로우 불가능성 정리는 게임이론의 전략적인 투표(보팅)에서 Gibbard와 Satterwaite가 다음과 같은 정리로 재해석하였다.
"세 개이상의 선택적 대안이 있을 때, 만약 독재자가 있다면, 모든 사람이 투표를 조작하여 이득을 얻을 수 없다."
이들의 선택적 대안이란 좋아하는 순서를 고르는 것인데. Hylland(2005)가 지분(stake)과 같은 일반적인 숫자( cardinal number)가진 그리드에서 모든 투표자가 만장일치로 선택하는 의사결정방법은 확률적인 독재자방식이라는 것을 증명하였다.
(Hylland’s theorem which shows that the only strategy-proof cardinal decision scheme satisfying a weak unanimity property is the random dictatorship)
결론을 말한다면, 지분으로 표시할 수 있는 그리드는 지분이 있는 분산네트워크와 동일하다.
<<<<<<분산네트워크에서 확률적인 독재자가 존재하면 모든노드가 만장일치로 지분을 조작하지 않는다.>>>>>
결론은 독재자란 거부권(veto)을 가진 투표자로서 자신이 원하는 대안을 제일 먼저 적용하는 투표자이다. 독재자가 있다면 모든사람들은 자신의 선택을 조작하여 이득을 취할 수 없다는 이야기이다.
이게 블록체인과 무슨 관계가 있냐고 물어보자. 댄라리머의 DPoS (Delegate Proof of Stake)인증방식이 분산네트워크에서 독재자방식으로 인증을 하고 있는데 이 방식을 사용하면 다른 사람은 자신의 선택을 조작하여 이득을 취할 수 없다는 이야기이다.
DPoS방식이 나쁘다는 이야기가 결코 아니다
분산네트워크에서 하나 이상의 프로세서가 작동하지 않으면 합의에 도달할 수 없는데, DPoS 를 이용하면 합의에 도달할 수 있다. 그러나, 댄라리머의 DPoS에서는 합의에 분산네트워크의 모든 노드가 참가할 수 없으며 일부의 노드가 독재자로서 역할을 하는 서버-클라이언트 (Server-Client)구조로 다른 노드와 연결되었다는 점이다. 이런 문제점을 비탈릭 부테른이 까버렸을 뿐이다.
다음의 경우를 추측(conjecture)으로 상상해보자.
만약 모든 노드가 참여하는 분산네트워크에서 독재자의역할을 하는 서브네트워크가 존재하고 서브네트워크가 합의과정을 관리하고 수수료를 합의과정에 참여하는 노드에게 공정하게 (fair and not equal) 배분한다면, 분산네트워크의 노드들은 합의과정을 조작하여 이득을 얻을 수 없다. 즉 군말없이 만장일치로 합의를 종결할 수 있다.
뭔가 Hylland의 논문의 냄새가 폴폴나지 않는가?
사실 FLP 불가능성은 동등한 계층의 분산네트워크에서의 문제다. 분산네트워크를 인증관리 네트워크와 일반 네트워크 등으로 서브네트워크를 구성하고 모든 노드들의 서브네트워크 간 통신의 노드간의 통신을 자유롭게 한다면 FLP불가능성은 성립하지 않는다.
이건 수학적으로 증명하지 못한 추측(conjecture)이다. 다만 Hylland(2005)의 논문의 결과를 이용하면 쉽게 증명할 수 있으리라고 추측한다.
(1) 다양한 계층으로 구분할 수 있는 분산네트워크에서 합의과정을 관리하는 서브네트워크가 존재하고 합의를 주도하는 노드를 확률적으로 선정한다면, 합의과정에 참가하는 모든 노드는 만장일치로 합의에 도달한다.
(2) 합의과정을 관리하는 서브네트워크가 합의과정의 수수료(통상적으로 채굴이라 부르는)를 노드의 지분 또는 컴퓨터 사용량으로 공정하게 배분한다면, 만장일치로 합의에 도달한다.
이런 추측을 기반으로 블록체인 생성의 합의방식과 수수료 배분방식에 대한 특허를 썼다. 19년만에 써 보았는데 지루한 과정이었다.
사이먼 싱이 쓴 <페르마 정리>를 보면 <타니야마-시무라 추측(Taniyama- Simura Conjecture)> 가 나온다.
<모든 지수함수의 급수는 타원곡선의 모듈라급수로 표현할 수 있다>는 추측이고 이걸 프린스턴대의 앤드류 마일스가 증명함으로써 페르마의 정리가 증명되었다. 이 추측의 증명은 정수론과 기하학의 만남이었다.
분산네트워크이론와 사회선택이론(Social Choice Theory)도 서로 만날 수 있다는 실마리를 보았다.